Các bài toán về đa thức
1.Xét đa thức P(x). Ta có các dạng toán sau:
Tính P(a).
Xét xem một số có là nghiệm của đa thức không.
P(x)= G(x).(x-a)+r. Do đó r=P(a) là số d của phép chia P(x) cho a.
Tìm điều kiện của tham số để P(x) thỏa mãn một số điều kiện nào đó.
2. Bài tập
Bài 1. Xác định các hệ số a, b, c của đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx – 2007 để sao cho P(x) chia hết cho (x – 13) có số dư là 2 và chia cho (x – 14) có số dư là 3.
Bài 2. Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị của đa thức.
Q(x) = x5 + ax4 – bx3 + cx2 + dx – 2007
Tại các giá trị của x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45.
Biết rằng khi x nhận các giá trị lần lượt 1, 2, 3, 4 thì Q(x) có các giá trị tương ứng là 9, 21, 33, 45
Hướng dẫn:
Bài 1
Ta có : P(x) = Q(x)(x – a) + r ( P(a) = r
Vậy P(13) = a.133 + b.132 + c.13 – 2007 = 1
P(3) = a.33 + b.32 + c.3 – 2007 = 2
P(14) = a.143 + b.142 + c.14 – 2007 = 3
Tính trên máy và rút gọn ta được hệ ba phương trình :

Tính trên máy được :a = 3,693672994 ( 3,69
b = –110,6192807 ( –110,62
c = 968,2814519 ( 968,28
Bài 2
Tính giá trị của P(x) tại x = 1, 2, 3, 4 ta được kết quả là :


Lấy hai vế của phương trình (1) lần lượt nhân với 2, 3, 4 rồi trừ lần lượt vế đối vế với phương trình (2), phương trình (3), phương trình (4), ta được hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn :


Tính trên máy được a = -93,5 ; b = -870 ; c = -2972,5 và d = 4211
Ta có P(x)=x5 – 93,5x4 + 870x3 -2972,5x2+ 4211x – 2007
Q(1,15) = 66,15927281 ( 66,16
Q(1,25) = 86,21777344 ( 86,22
Q(1,35) = 94,91819906 ( 94,92
Q(1,45) = 94,66489969 ( 94,66
Bài 3 Cho P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x - 50. Gọi r1 là phần dư của phép chia P(x) cho x - 2 và r2 là phần dư của phép chia P(x) cho x - 3. Viết quy trình tính r1 và r2 sau đó tìm BCNN(r1;r2) ?
Bài 4.
Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c. Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9. Hãy viết quy trình để tính P(9) và P(10) ?
Bài 5 Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c. Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9.
a) Tìm số dư khi chia P(x) cho x – 4 ?
b) Tìm số dư khi chia P(x) cho 2x + 3 ?
Bài 6
Cho các đa thức F(x)= x4+5x3-4x2+3x+a
G(x)=-3x4+4x3-3x2+2x+b; H(x)=5x5-x4-6x3+27x2-54x+32
a)Tìm a, b để F(x) và G(x) có nghiệm chung là x=0,25
b)Sử dụng các phím nhớ, lập quy trình bấm phím tìm số dư trong phép chia Q(x) cho 2x+3.
Bài 7
a)Cho f(x) =